高数复习

空间几何与解析几何

向量运算

• 点乘
  • $\vec{a}\cdot \vec{b}=|a||b|cos<\vec{a},\vec{b}>$
  • 若表示为坐标形式可以有:$a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3$
  • 如果两个 非零向量 点乘为0,说明这两个向量垂直
  • 点乘求出的是一个数
• 叉乘(向量积)
  • 有$\mathrm{a}\times \mathrm{b}=\left(\begin{array}{ccc}i& j& k\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right)$
  • 按第一行展开即可得出结果向量 $(n_i,n_j,n_k)$
  • 或者使用高中叉乘法直接求出 $(n_i,n_j,n_k)$ 数值
• 求投影
  • 标量投影
    • ${\text{comp}}_{\mathrm{b}}\mathrm{a}=\frac{\mathrm{a}\cdot \mathrm{b}}{|b|}$
    • 有时候也写成 ${\text{prj}}_{\vec{b}}\vec{a}$
  • 向量投影
    • ${\text{proj}}_{\vec{b}}\vec{a}=\left(\frac{a\cdot b}{|b{|}^2}\right)b$
    • ${\text{proj}}_{\vec{b}}\vec{a}=\left(\frac{a\cdot b}{|b|}\right)\frac{b}{|b|}$

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平面与直线方程

• 求平面方程(点法式)
  • 平面方程一般形式
    • 点法式 ： $A(x-x_0)+B(y-y_{0)}+C(z-z_0)$
      • $(A,B,C)$为平面法向量
      • $(x_0,y_0,z_0)$是平面上一个点
  • 求过三点的平面$P_1,P_2,P_3$
    • 构造不共线的两个向量：$P_1{P}_2=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$ $P_2{P}_3=(x_3-x_2,y_3-y_2,z_3-z_2)$
    • 计算法向量 $\vec{n}=P_1{P}_2\cdot P_2{P}_3$
    • 带入点法式
  • 求过某一点且垂直于某直线的平面
    • 垂直与直线 → 法向量与直线方向向量平行 → 法向量就是方向向量
    • 带入点法式
  • 求过一点且垂直于两平面的平面
    • 垂直两平面，可以找到两平面的法向量$n_1,n_2$
    • 所求平面法向量就是 $n=n_1\times n_2$
    • 带入点法式
• 求直线方程
  • 直线方程一般形式
    • 对称式 $\frac{x-x_0}{A}=\frac{y-y_0}{B}=\frac{z-z_0}{C}$
      • $(A,B,C)$为直线方向向量
      • $(x_0,y_0,z_0)$为直线所过的一个点
    • 参数式：$\{\begin{array}{l}x=At+x_0\\ y=Bt+y_0\\ z=Ct+z_0\end{array}$
    • 可以理解为$\frac{x-x_0}{A}=\frac{y-y_0}{B}=\frac{z-z_0}{C}=t$ 后拆开的三个式子,那互相转换也显而易见了
  • 过点两点的直线
    • $A=(x_1,y_1,z_1),B=(x_2,y_2,z_2)$
    • 求两直线方向向量 $\vec{n}=\overrightarrow{AB}$
    • 带入某一个点使用对称式
  • 求已知两平面的交线
    • 可以找到两平面的法向量$n_1,n_2$
    • 直线方向向量 $\vec{n}=n_1\times n_2$
    • 联立两个平面
    • 令$x=0$(或$y=0$等手段)找出$y，z$
    • 则这个直线过$(0,y,z)$
    • 带入对称式
• 求曲线的切线与法平面 ^2c491e
  • 已知曲面$\Omega (x,y,z)=x(t),y(t),z(t)$,求在$(x_0,y_0,z_0)$处的切线方程(法平面)
    • 令$x(t)=x_0$求出$t_0$
    • 求$x^{\prime }(t_0),y^{\prime }(t_0),z^{\prime }(t_0)$,即切线方向向量(法向量)
    • 代回$(x_0,y_0,z_0)$用对称式得出结果
    • 或用点法式求出法平面

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多元函数微分

偏导数与全微分

• 基本求偏导数
  • $\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}=\mathrm{d}{F}_x$
  • 即:将$y$看作常数对$F$中的$x$求导
  • 同理,对$y$求偏导就是将$x$看为常数
• 复合函数求导
  • 链式法则
  • 可以画出$z(u,v)$,$u(x,y)$,$v(x,y)$中$\frac{\partial z}{\partial x}$,$\frac{\partial z}{\partial y}$的变量依赖关系的关系图
  • 也可以直接写出$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$ 对$\frac{\partial z}{\partial y}$也是一样的
• 隐函数求导
  • 对隐函数$F(x,y,z)$有
  • $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}$
  • $\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}$
  • 也可以两边同时对$x$或$y$求偏导
• 全微分
  • $\mathrm{d}z=\left(\frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\mathrm{d}y\right)$

方向导数与梯度

• 梯度
  • 梯度向量是就是求所有变量对原函数的偏导然后放入到向量中
  • 对$\nabla f$而言$f(x,y,z)$, $\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)$
  • $\nabla f(P_0)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(P_0),\frac{\partial f}{\partial y}(P_0),\frac{\partial f}{\partial z}(P_0)\right)$
• 方向导数
  • $\frac{\partial f}{\partial l}=\nabla f(P_0)\cdot \frac{\vec{u}}{|u|}$
  • 方向导数最大(变化率最大)时候
    • 方向为：$\nabla f(P_0)$
    • 最大值：$|\nabla f(P_0)|$
  • 方向导数最小(变化率最小)时候
    • 方向为：$-\nabla f(P_0)$
    • 最小值：$-|\nabla f(P_0)|$
  • 变化为0时候
    • 方向为：任意与$-\nabla f(P_0)$垂直的向量

极值与最值

• 无条件极值$f(x,y)$
  • 解方程组 $\{\begin{array}{l}\frac{\partial f}{\partial x}=0\\ \frac{\partial f}{\partial y}=0\end{array}$
  • 一般而言上面方程组会解出一个(或多个)点$A(x_0,y_0)$ 称为驻点
  • 接下来需要我们求所有二阶偏导数
    • $f_{xx}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}{f}_{yy}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}{f}_{xy}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}$
    • 接下来计算黑塞矩阵的行列式$D=\left(\begin{array}{cc}{f}_{xx}(x,y)& f_{xy}(x,y)\\ f_{xy}(x,y)& f_{yy}(x,y)\end{array}\right)$
  • 将每个驻点带入$D$有$D{|}_{xy}$
    • 如果$D{|}_{xy}>0$ 且 $f_{xx}(x_0,y_0)>0$ 则函数有局部最小值
    • 如果$D{|}_{xy}>0$ 且 $f_{xx}(x_0,y_0)<0$ 则函数有局部最大值
    • 如果$D{|}_{xy}\le 0$ 则没有局部最值
• 有条件的极值
  • 已知$f(x,y,z)$在约束条件$\omega (x,y,z)=a$的极值
  • 构造拉格朗日方程 $F(x,y,z,\lambda )=f(x,y,z)+\lambda (\omega (x,y,z)-a)$
  • 求解方程组$\{\begin{array}{l}\frac{\partial f}{\partial x}=0\\ \frac{\partial f}{\partial y}=0\\ \frac{\partial f}{\partial z}=0\\ \frac{\partial f}{\partial \lambda }=0\end{array}$
  • 解出方程组中 $x,y,z$ 就可以得到极值点

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重积分

二重积分

• 直角坐标
  • 其重点在于将积分区域表示出来
  • 例：计算二重积分${\iint }_{D}xydxdy$，其中$D$由直线$y=2$,$x=2$,$y=2x$围成的有界闭区域。
  • 对积分区域$D$有
  • 此时我们可以将其看为x型(先y后x)的积分
  • ${\iint }_{D}xy\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_1^2\mathrm{d}x{\int }_2^{2x}xy\mathrm{d}y$
  • 在积后一个积分的时候就将x看为常量对y积分即可
• 极坐标
  • 利用极坐标变换：$\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta \end{array}$
  • 当被积函数中含有 $x^2+y^2$ 这类式子时候或者积分区域是圆类时候可以使用极坐标变换
  • 极坐标变换注意$\mathrm{d}x\mathrm{d}y$要变为$\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta$
  • 设区域$D:x^2+y^2\le 1$，则积分${\iint }_D(xy+3{)}^{2}d\sigma =$
    • 利用极坐标变换有
    • ${\iint }_D({\rho }^2\cos \theta \sin \theta +3{)}^2\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta$
    • 在圆中 $\theta \in [0,2\pi ]\rho \in [0,r]$ $r$是圆半径
    • 有${\int }_0^{1}d\rho {\int }_0^{2\pi }({\rho }^2\cos \theta \sin \theta +3{)}^2\rho \mathrm{d}\theta$
    • BYD好难算放弃了
• 二重积分中值定理
  • 存在$(x_0,y_0)\in D$有${\iint }_{D}f(x,y)dxdy=f(x_0,y_0)\cdot S$
  • 其中S为D的面积
• 对称性
  • 二重积分区域$D$如果关于某一个变量轴对称，若其被积函数关于另一个变量为奇函数，则二重积分为0
    • 例：积分关于$x$轴对称，且$f(x,-y)=-f(x,y)$则该积分为0
  • 如果为偶函数，则只需要计算一半的区域然后乘2,即$2{\iint }_{D^{\ast }}f(x,y)dxdy$

三重积分

• 三重积分方法
  • 直角坐标计算法：先一后二与先二后一
    • 先一后二：即先计算一重积分，再计算二重积分
    • 常见形式 ：$z=x^2+y^2$ 与 $z=a$围的空间封闭区域
      • 将${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dxdydz$ 化为${\iint }_{D}dxdy{\int }_{x^2+y^2}^{a}f(x,y,z)dz$
      • $D$为空间体在$xOy$平面上的投影
    • 先二后一：即先计算二重积分，再计算一重积分
      • 常见形式：当被积函数只有一个变量的时候，可以考虑后积这个变量。这样就可以化为：
      • ${\int }_{z_0}^{z_1}f(z)dz{\iint }_{D}dxdy={\int }_{z_0}^{z_1}f(z)\cdot Adz$
      • 其中$A$一般是一个可以用$z$表示的沿着$z$变化的面积
      • 如上例：若$f(x,y,z)=z$ ，则我们可以化为：${\int }_0^{a}z\cdot (\pi z)dz$
  • 球面坐标法
    • 球面坐标转换：
    • $\{\begin{array}{l}x=\rho \sin \varphi \cos \theta \\ y=\rho \sin \varphi \sin \theta \\ z=\rho \cos \varphi \end{array}$
    • 微元变化：$\mathrm{d}V={\rho }^2\sin \varphi \mathrm{d}\varphi \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta$
    • $\rho$的范围:从原点出发的射线穿过区域的起点和终点对应的$\rho$值
      • 对于球体，通常是$0$到半径$R$;对于球壳，是内半径到外半径
    • $\varphi$的范围:从正$z$轴开始，向下扫描区域所需的角度范围
    • $\theta$的范围:在$xOy$平面上投影区域所覆盖的水平角度范围
  • 三重积分对称性
    • 三重积分区域$D$如果关于某两个变量平面对称(如$xOy$)，若其被积函数关于另一个变量为奇函数($f(x,y,-z)=-f(x,y,z)$)，则三重积分为0

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曲线积分

• 第一类曲线积分(对弧长的积分)
  • 一般形式${\int }_{L}f(x,y)ds$
  • 第一步：参数化曲线L
    • 在直角坐标系下
      • 对平面曲线$f(x,y)$通常可以表示为$x(t),y(t)$，$t\in [t_1,t_2]$
    • 在极坐标系下
      • 我们可以先使用极坐标转换将$L$转换为极坐标下的方程$R(\rho ,\theta )$，然后表示为$\rho =\rho (\theta )$的形式
    • 参数化主要是将x,y都用t来表示，比如$y=x^2+e^x$ 就可以令$x=t$,则$y(t)=t^2+e^t,x(t)=t$
  • 微分元素$ds$
    • 在直角坐标系下$ds=\sqrt{(x^{\prime }(t){)}^2+(y^{\prime }(t){)}^2}dt$
    • 在极坐标系下$ds=\sqrt{{\rho }^2(\theta )+({\rho }^{\prime }(\theta ){)}^2}$
  • 被积函数变化
    • 将$f(x,y)\to f(x(t),y(t))$
    • 极坐标系 $f(x,y)\to f(\rho (\theta )\cos \theta ,\rho (\theta )\sin \theta )$
  • 总公式
    • 直角坐标系下${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_{t_1}^{t_2}f(x(t),y(t))\sqrt{(x^{\prime }(t){)}^2+(y^{\prime }(t){)}^2}dt$
    • 极坐标系下${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}f(\rho (\theta )\cos \theta ,\rho (\theta )\sin \theta )\sqrt{{\rho }^2(\theta )+({\rho }^{\prime }(\theta ){)}^2}d\theta$
• 第二类曲线积分(对坐标的积分)
  • 一般形式 ${\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy$
    • 参数化
      • 对平面曲线$f(x,y)$通常可以表示为$x(t),y(t)$，$t\in [t_1,t_2]$
    • 微元$dx,dy$
      • $dx=x^{\prime }(t)dt,dy=y^{\prime }(t)dt$
  • 总公式
    • ${\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy={\int }_{t_1}^{t_2}\left[P(x(t),y(t))x^{\prime }(t)+Q(x(t),y(t))y^{\prime }(t)\right]dt$
• 格林公式
  • 如果曲线正向(逆时针)则可以使用格林公式
  • ${\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy={\iint }_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$
  • 如果不是闭合曲线，我们可以“造”一个曲线使其闭合
    • 例：正向曲线$L=\sin x,x\in [0,\pi ]$
    • 我们可以添加一条与$L$曲线方向相同的曲线$y=0,x\in [0,\pi ]$
    • 此时有${\int }_{L_0}P(x,y)dx+Q(x,y)dy={\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy+{\int }_{l}P(x,0)dx$
    • 而第一个式子我们可以就用格林公式了
  • 格林公式有”洞”的情况
    • 我们对外部的线积分$I_0$使用正常的格林公式积分
    • 对内部的线积分$I_1$我们必须保证其与外线方向相反的方向来保证使用格林公式的方向性
    • 此时我们计算的积分$I=I_0+I_1$但由于$I_1$是顺时针的，所以用格林公式时候会改变符号
    • 即$I=I_1-I_0$
• 路径无关条件
  • 若一个曲线积分${\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy$与路径无关则有
  • $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$

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无穷级数

• 无穷级数判别
  • 正项级数 $\sum a_n,\sum b_n$
    • 比值判别法
    • 设$L={\lim }_{x\to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}$
      • 若$0<L<1$则级数收敛
      • 若$L>1$则发散
      • 若$L=1$则失效
    • 比较判断法
      • 设$L={\lim }_{x\to \infty }\frac{a_n}{b_n}$
        • 如果$L$为有限正数则$\sum a_n$与$\sum b_n$敛散性质相同
        • 如果$L\to \infty$ 且$\sum b_n$发散则$\sum a_n$发散
        • 如果$L=0$且$\sum b_n$收敛，则$\sum a_n$收敛
  • 交错级数
    • 一般形式$\sum (-1{)}^n{a}_n$
    • 莱布尼茨判别法
      • ${\lim }_{x\to \infty }{a}_n=0$
      • $a_{n-1}<a_n$
    • 满足上面两个则级数为收敛的
  • 绝对收敛
    • 当$\sum |a_n|$收敛，则级数绝对收敛
• 幂级数收敛域
  • 用比值判别法
    • $R={\lim }_{n\to \infty }\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$
    • $R$即为收敛半径$(-R,R)$
    • 将两个端点代入看能否取值
  • 根值判别法
    • $R={\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{|a_n|}$
    • $r=\frac{1}{R}$即为收敛半径$(-r,r)$
    • 将两个端点代入看能否取值
• 展开为幂级数
  • 利用五个已知的常用展开式
  • $e^x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$
  • $\frac{1}{1-x}=\sum _{n=1}^{\infty }{x}^n,x\in (-1,1)$
  • $\frac{1}{1+x}=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n{x}^n,x\in (-1,1)$
  • $\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}$
• 傅立叶级数展开
  • 有一个$f(x)$以$2\pi$为周期
  • 和函数$S(x_0)$,其中有间断点$x_k$
    • 当$x_0\ne x_k$ 时 $S(x_0)=f(x)$
    • 当$x_0=x_k$ 时 $S(x_0)=\frac{f(x_{0^{+}})+f(x_{0^{-}})}{2}$
  • 展开式$a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx$

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微分方程

一阶微分方程

• 可分离变量的一阶微分方程
  • 可以直接分离变量，将$x,y$移动到等式左右两侧对两侧积分就行
    • 例：$y^{\prime }=\frac{y}{x}$
    • 有$\frac{1}{y}dy=\frac{1}{x}dx$
• 可降阶的微分方程
  • $y^{(n)}=f(x)$
  • 直接逐项积分就可以
• 一阶齐次线性微分方程
  • 一般形式$y^{\prime }=f\left(\frac{x}{y}\right)$
  • 思路：换元$u=\frac{x}{y}$
  • 则有$y=ux⟹y^{\prime }=u+u^{\prime }x$
  • 将$y$和$y^{\prime }$带入原方程$u+u^{\prime }x=f(u)$
    • 按分离变量法求出$u$的表达式
    • 代回$y=ux$即可
• 一阶非齐次线性方程
  • 一般形式：$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)$
    1. 求积分因子$\mu (x)=e^{\int P(x)dx}$
    2. 通项公式：$y=\frac{1}{\mu (x)}\left(\int \mu (x)Q(x)dx+C\right)$

全微分方程

• 全微分方程一般形式
• $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$
• 当$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial x}$时候满足一个存在一个$U(x，y)$为解
• 求解思路
  • 先对$P(x,y)$关于$x$积分有：$U(x,y)=\int P(x,y)dx+h(y)(1)$
  • 对$U(x,y)$求关于$y$的偏导$\frac{\partial U}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\int P(x,y)dx\right)+h^{\prime }(y)$
  • 因为对$U$求对$y$偏导后必须等于$Q(x,y)$,z则我们可以比较出$h^{\prime }(y)$的表达式
  • 对$h’(y)$积分得出$h(y)$
  • 代回(1)式就可以得出方程

高阶微分方程

• 高阶齐次方程
  • $a_n{y}^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_1{y}^{(1)}+a_0=0$
    • 求解思路
    • 写出特征方程：$a_n{r}^n+a_{n-1}{r}^{n-1}+\cdots a_0{r}^0=0$
    • 求出所有$r$
    • 根据$r$的结构写出通解
    • $r$都不相同时候$y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}+\cdots C_n{e}^{r_{n}x}$
    • 存在$k$重根$r_p$，对这个$k$重根有$C_1{e}^{r_{p}x}+C_{2}x{e}^{r_{p}x}+\cdots C_k{x}^{k-1}{e}^{r_{p}x}$
    • 存在复数根，对这个复数根$a+bi$ 有$e^{ax}(C_1\cos (bx)+C_2\sin (bx))$
• 高阶常系数非齐次线性方程
  • 一般形式(考纲)：$a_n{y}^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_1{y}^{(1)}+a_0=f(x)$且$f(x)=e^{\lambda x}{P}_m(x)$
  • 解题思路
    • 通解形式为$y=y_p+y_h$其中$y_p$是其齐次方程的通解，$y_h$为一个特解
    • 我们主要考虑$y_h$
    • 我们推测$y_h(x)=e^{\lambda x}{Q}_m(x)$
      • 注意如果$\lambda$为特征方程的根，则需要修正$y_h(x)=x^k{e}^{\lambda x}{Q}_m(x)$
    • 其中$Q_m(x)$是形如$A{x}^n+B{x}^{n-1}+\cdots +N{x}^0$的多项式
    • 对$y_h(x)$求导一直求到$n$阶导
    • 将$y_h^{(n)}\cdots y$代入原式子与$P_m(x)$比较解出$A\cdots N$的值
    • 代入$y_h$即可

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