微分方程

一阶微分方程

• 可分离变量的一阶微分方程
  • 可以直接分离变量，将$x,y$移动到等式左右两侧对两侧积分就行
    • 例：$y^{\prime }=\frac{y}{x}$
    • 有$\frac{1}{y}dy=\frac{1}{x}dx$
• 可降阶的微分方程
  • $y^{(n)}=f(x)$
  • 直接逐项积分就可以
• 一阶齐次线性微分方程
  • 一般形式$y^{\prime }=f\left(\frac{x}{y}\right)$
  • 思路：换元$u=\frac{x}{y}$
  • 则有$y=ux⟹y^{\prime }=u+u^{\prime }x$
  • 将$y$和$y^{\prime }$带入原方程$u+u^{\prime }x=f(u)$
    • 按分离变量法求出$u$的表达式
    • 代回$y=ux$即可
• 一阶非齐次线性方程
  • 一般形式：$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)$
    1. 求积分因子$\mu (x)=e^{\int P(x)dx}$
    2. 通项公式：$y=\frac{1}{\mu (x)}\left(\int \mu (x)Q(x)dx+C\right)$

全微分方程

• 全微分方程一般形式
• $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$
• 当$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial x}$时候满足一个存在一个$U(x，y)$为解
• 求解思路
  • 先对$P(x,y)$关于$x$积分有：$U(x,y)=\int P(x,y)dx+h(y)(1)$
  • 对$U(x,y)$求关于$y$的偏导$\frac{\partial U}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\int P(x,y)dx\right)+h^{\prime }(y)$
  • 因为对$U$求对$y$偏导后必须等于$Q(x,y)$,z则我们可以比较出$h^{\prime }(y)$的表达式
  • 对$h’(y)$积分得出$h(y)$
  • 代回(1)式就可以得出方程

高阶微分方程

• 高阶齐次方程
  • $a_n{y}^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_1{y}^{(1)}+a_0=0$
    • 求解思路
    • 写出特征方程：$a_n{r}^n+a_{n-1}{r}^{n-1}+\cdots a_0{r}^0=0$
    • 求出所有$r$
    • 根据$r$的结构写出通解
    • $r$都不相同时候$y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}+\cdots C_n{e}^{r_{n}x}$
    • 存在$k$重根$r_p$，对这个$k$重根有$C_1{e}^{r_{p}x}+C_{2}x{e}^{r_{p}x}+\cdots C_k{x}^{k-1}{e}^{r_{p}x}$
    • 存在复数根，对这个复数根$a+bi$ 有$e^{ax}(C_1\cos (bx)+C_2\sin (bx))$
• 高阶常系数非齐次线性方程
  • 一般形式(考纲)：$a_n{y}^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_1{y}^{(1)}+a_0=f(x)$且$f(x)=e^{\lambda x}{P}_m(x)$
  • 解题思路
    • 通解形式为$y=y_p+y_h$其中$y_p$是其齐次方程的通解，$y_h$为一个特解
    • 我们主要考虑$y_h$
    • 我们推测$y_h(x)=e^{\lambda x}{Q}_m(x)$
      • 注意如果$\lambda$为特征方程的根，则需要修正$y_h(x)=x^k{e}^{\lambda x}{Q}_m(x)$
    • 其中$Q_m(x)$是形如$A{x}^n+B{x}^{n-1}+\cdots +N{x}^0$的多项式
    • 对$y_h(x)$求导一直求到$n$阶导
    • 将$y_h^{(n)}\cdots y$代入原式子与$P_m(x)$比较解出$A\cdots N$的值
    • 代入$y_h$即可