多元函数微分

偏导数与全微分

• 基本求偏导数
  • $\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}=\mathrm{d}{F}_x$
  • 即:将$y$看作常数对$F$中的$x$求导
  • 同理,对$y$求偏导就是将$x$看为常数
• 复合函数求导
  • 链式法则
  • 可以画出$z(u,v)$,$u(x,y)$,$v(x,y)$中$\frac{\partial z}{\partial x}$,$\frac{\partial z}{\partial y}$的变量依赖关系的关系图
  • 也可以直接写出$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$ 对$\frac{\partial z}{\partial y}$也是一样的
• 隐函数求导
  • 对隐函数$F(x,y,z)$有
  • $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}$
  • $\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}$
  • 也可以两边同时对$x$或$y$求偏导
• 全微分
  • $\mathrm{d}z=\left(\frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\mathrm{d}y\right)$

方向导数与梯度

• 梯度
  • 梯度向量是就是求所有变量对原函数的偏导然后放入到向量中
  • 对$\nabla f$而言$f(x,y,z)$, $\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)$
  • $\nabla f(P_0)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(P_0),\frac{\partial f}{\partial y}(P_0),\frac{\partial f}{\partial z}(P_0)\right)$
• 方向导数
  • $\frac{\partial f}{\partial l}=\nabla f(P_0)\cdot \frac{\vec{u}}{|u|}$
  • 方向导数最大(变化率最大)时候
    • 方向为：$\nabla f(P_0)$
    • 最大值：$|\nabla f(P_0)|$
  • 方向导数最小(变化率最小)时候
    • 方向为：$-\nabla f(P_0)$
    • 最小值：$-|\nabla f(P_0)|$
  • 变化为0时候
    • 方向为：任意与$-\nabla f(P_0)$垂直的向量

极值与最值

• 无条件极值$f(x,y)$
  • 解方程组 $\{\begin{array}{l}\frac{\partial f}{\partial x}=0\\ \frac{\partial f}{\partial y}=0\end{array}$
  • 一般而言上面方程组会解出一个(或多个)点$A(x_0,y_0)$ 称为驻点
  • 接下来需要我们求所有二阶偏导数
    • $f_{xx}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}{f}_{yy}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}{f}_{xy}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}$
    • 接下来计算黑塞矩阵的行列式$D=\left(\begin{array}{cc}{f}_{xx}(x,y)& f_{xy}(x,y)\\ f_{xy}(x,y)& f_{yy}(x,y)\end{array}\right)$
  • 将每个驻点带入$D$有$D{|}_{xy}$
    • 如果$D{|}_{xy}>0$ 且 $f_{xx}(x_0,y_0)>0$ 则函数有局部最小值
    • 如果$D{|}_{xy}>0$ 且 $f_{xx}(x_0,y_0)<0$ 则函数有局部最大值
    • 如果$D{|}_{xy}\le 0$ 则没有局部最值
• 有条件的极值
  • 已知$f(x,y,z)$在约束条件$\omega (x,y,z)=a$的极值
  • 构造拉格朗日方程 $F(x,y,z,\lambda )=f(x,y,z)+\lambda (\omega (x,y,z)-a)$
  • 求解方程组$\{\begin{array}{l}\frac{\partial f}{\partial x}=0\\ \frac{\partial f}{\partial y}=0\\ \frac{\partial f}{\partial z}=0\\ \frac{\partial f}{\partial \lambda }=0\end{array}$
  • 解出方程组中 $x,y,z$ 就可以得到极值点