空间几何与解析几何

向量运算

• 点乘
  • $\vec{a}\cdot \vec{b}=|a||b|cos<\vec{a},\vec{b}>$
  • 若表示为坐标形式可以有:$a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3$
  • 如果两个 非零向量 点乘为0,说明这两个向量垂直
  • 点乘求出的是一个数
• 叉乘(向量积)
  • 有$\mathrm{a}\times \mathrm{b}=\left(\begin{array}{ccc}i& j& k\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right)$
  • 按第一行展开即可得出结果向量 $(n_i,n_j,n_k)$
  • 或者使用高中叉乘法直接求出 $(n_i,n_j,n_k)$ 数值
• 求投影
  • 标量投影
    • ${\text{comp}}_{\mathrm{b}}\mathrm{a}=\frac{\mathrm{a}\cdot \mathrm{b}}{|b|}$
    • 有时候也写成 ${\text{prj}}_{\vec{b}}\vec{a}$
  • 向量投影
    • ${\text{proj}}_{\vec{b}}\vec{a}=\left(\frac{a\cdot b}{|b{|}^2}\right)b$
    • ${\text{proj}}_{\vec{b}}\vec{a}=\left(\frac{a\cdot b}{|b|}\right)\frac{b}{|b|}$

---

平面与直线方程

• 求平面方程(点法式)
  • 平面方程一般形式
    • 点法式 ： $A(x-x_0)+B(y-y_{0)}+C(z-z_0)$
      • $(A,B,C)$为平面法向量
      • $(x_0,y_0,z_0)$是平面上一个点
  • 求过三点的平面$P_1,P_2,P_3$
    • 构造不共线的两个向量：$P_1{P}_2=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$ $P_2{P}_3=(x_3-x_2,y_3-y_2,z_3-z_2)$
    • 计算法向量 $\vec{n}=P_1{P}_2\cdot P_2{P}_3$
    • 带入点法式
  • 求过某一点且垂直于某直线的平面
    • 垂直与直线 → 法向量与直线方向向量平行 → 法向量就是方向向量
    • 带入点法式
  • 求过一点且垂直于两平面的平面
    • 垂直两平面，可以找到两平面的法向量$n_1,n_2$
    • 所求平面法向量就是 $n=n_1\times n_2$
    • 带入点法式
• 求直线方程
  • 直线方程一般形式
    • 对称式 $\frac{x-x_0}{A}=\frac{y-y_0}{B}=\frac{z-z_0}{C}$
      • $(A,B,C)$为直线方向向量
      • $(x_0,y_0,z_0)$为直线所过的一个点
    • 参数式：$\{\begin{array}{l}x=At+x_0\\ y=Bt+y_0\\ z=Ct+z_0\end{array}$
    • 可以理解为$\frac{x-x_0}{A}=\frac{y-y_0}{B}=\frac{z-z_0}{C}=t$ 后拆开的三个式子,那互相转换也显而易见了
  • 过点两点的直线
    • $A=(x_1,y_1,z_1),B=(x_2,y_2,z_2)$
    • 求两直线方向向量 $\vec{n}=\overrightarrow{AB}$
    • 带入某一个点使用对称式
  • 求已知两平面的交线
    • 可以找到两平面的法向量$n_1,n_2$
    • 直线方向向量 $\vec{n}=n_1\times n_2$
    • 联立两个平面
    • 令$x=0$(或$y=0$等手段)找出$y，z$
    • 则这个直线过$(0,y,z)$
    • 带入对称式
• 求曲线的切线与法平面 ^2c491e
  • 已知曲面$\Omega (x,y,z)=x(t),y(t),z(t)$,求在$(x_0,y_0,z_0)$处的切线方程(法平面)
    • 令$x(t)=x_0$求出$t_0$
    • 求$x^{\prime }(t_0),y^{\prime }(t_0),z^{\prime }(t_0)$,即切线方向向量(法向量)
    • 代回$(x_0,y_0,z_0)$用对称式得出结果
    • 或用点法式求出法平面