期末题归档

2023 - 2024

一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，总计20分）

1. 设$A,B$为随机事件，若$P(A)=1$，则以下选项正确的是（ ）
   $(A)$ $A$为必然事件；
   $(B)$ $A\supset B$；
   $(C)$ $AB=\varphi$；
   $(D)$ $A$与$B$相互独立。

2. $X$与$Y$相互独立，分布均为$N(1,{\sigma }^2)$，则$P\{\min (X,Y)>1\}$的值为（ ）
   $(A)$ $\frac{1}{2}$；
   $(B)$ $\frac{1}{3}$；
   $(C)$ $\frac{1}{4}$；
   $(D)$ $\frac{1}{5}$。

3. 若变量$X$和$Y$满足$Cov(X+Y,X-Y)=0$，则下列选项正确的是（ ）
   $(A)$ $X$与$Y$独立；
   $(B)$ $X$与$Y$不相关；
   $(C)$ $E(X)=E(Y)$；
   $(D)$ $D(X)=D(Y)$。

4. 设$X$与$Y$均为标准正态分布的变量，则以下结论正确的是（ ）
   $(A)$ $X+Y$服从正态分布；
   $(B)$ $X^2+Y^2$服从${\chi }^2$分布；
   $(C)$ $X^2$和$Y^2$都服从${\chi }^2$分布；
   $(D)$ $X^2/Y^2$服从$F$分布。

5. $X_1,X_2,\cdots ,X_n$为取自泊松总体$P(\lambda )$的样本，$\lambda$未知，下列不是统计量的是（ ）
   $(A)$ ${\sum }_{i=1}^n{X}_i$；
   $(B)$ $\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(X_i-1{)}^2$；
   $(C)$ ${\sum }_{i=1}^n{X}_i^2$；
   $(D)$ $\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\lambda {)}^2$。

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总计20分）

6. 设$A,B$互不相容，且$P(A)=0.4$，$P(A\cup B)=0.8$，则$P(B)=$。

7. 袋子中有9个球，其中3个红球，每次取一球，取出后不放回，则直到第三次才取到红球的概率为。

8. 设随机变量$X\sim b(n,\frac{1}{2})$，且$P\{X=1\}=P\{X=2\}$，则$n=$。

9. 设$X\sim U(0,2)$，用切比雪夫不等式估计得$P\{|X-1|\ge 2\}\le$。

10. 设一组容量为$n=5$的样本观察值为$8,6,9,5,7$，则样本方差$S^2=$。

三、解答题（本大题共7小题，每小题8分，总计56分）

11. 物流中心有甲、乙、丙三种快递分拣机器人，甲、乙、丙的数量分别为25台、35台、40台，且分拣错误率分别为5%、4%、2%。现随机抽检一个快递，求：
    (1) 该快递分拣错误的概率；
    (2) 若该快递分拣错误，则其为甲种机器人分拣的概率。

12. 随机变量$X$的概率密度函数为$f(x)=\{\begin{array}{ll}A(2x+1),& 0<x<2\\ 0,& \text{其他}\end{array}$。求：
    (1) 未知参数$A$的值；
    (2) 概率$P\{-2<X<1\}$的值。

13. 随机变量$X$的分布律如右表所示。求：
    (1) $X$的分布函数$F(x)$；
    (2) $P\{\frac{3}{2}<X\le \frac{5}{2}\}$的值。

$X$	1	2	3
$p_k$	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{2}$

14. 二维随机变量$(X,Y)$的联合概率密度函数为
    $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}2e^{-2x-y},& x>0,y>0\\ 0,& \text{其他}\end{array}$
    求：
    (1) $X$的边缘概率密度函数$f_X(x)$；
    (2) 概率$P\{X\le Y\le 2X\}$的值。

15. $X$与$Y$为随机变量，$E(X)=1$，$E(Y)=2$，$D(X)=4$，$D(Y)=9$，${\rho }_{XY}=0.5$，求：
    (1) $D(X+Y)$的值；
    (2) $E(XY)$的值。

16. 随机变量$X$的概率密度函数为
    $f_X(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{9}{x}^2,& 0<x<3\\ 0,& \text{其他}\end{array}$
    令$Y=2X-1$，求$Y$的概率密度函数$f_Y(y)$。

17. 总体$X$的密度函数为
    $f(x)=\{\begin{array}{ll}2\theta x^{2\theta -1},& 0<x<1,\theta >0\\ 0,& \text{其他}\end{array}$
    $X_1,X_2,\cdots ,X_n$为取自该总体的一组样本，求未知参数$\theta$的矩估计量和极大似然估计量。

四、证明题（本大题共1小题，每小题4分，总计4分）

18. 设总体$X$的均值为$\mu$，方差为${\sigma }^2$，$X_1,X_2,\cdots ,X_n$为取自总体$X$的样本，令
    ${\hat{\mu }}_k=\frac{1}{k}{\sum }_{i=1}^k{X}_i,k=1,2,\cdots ,n.$
    证明：${\hat{\mu }}_{n-1}$，${\hat{\mu }}_n$均为$\mu$的无偏估计且${\hat{\mu }}_n$比${\hat{\mu }}_{n-1}$更有效。

2022 - 2023

1. 设$A,B$为随机事件，则以下选项正确的是（ ）
   $(A)$ $P(A)=P(AB)+P(A\overline{B})$；
   $(B)$ $P(A-B)=P(A)-P(B)$；
   $(C)$ $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$；
   $(D)$ $P(AB)=P(A)P(B)$。

2. 若随机变量$X$与$Y$相互独立，且$P\{X\le 1\}=P\{Y\le 1\}=\frac{1}{5}$，则$P\{\min (X,Y)\le 1\}=$（ ）
   $(A)$ $\frac{2}{5}$；
   $(B)$ $\frac{4}{5}$；
   $(C)$ $\frac{1}{25}$；
   $(D)$ $\frac{9}{25}$。

3. 若随机变量$X$和$Y$满足$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$，则下列选项正确的是（ ）
   $(A)$ $X$与$Y$独立；
   $(B)$ $X$与$Y$不相关；
   $(C)$ $X$与$Y$不独立；
   $(D)$ $D(XY)=D(X)D(Y)$。

4. 设$X\sim N(0,1)$，$Y\sim N(0,1)$，且$X$与$Y$相互独立，则（ ）
   $(A)$ $X+Y$服从正态分布；
   $(B)$ $X^2+Y^2$服从${\chi }^2$分布；
   $(C)$ $X^2$和$Y^2$都服从${\chi }^2$分布；
   $(D)$ $X^2/Y^2$服从$F$分布。

5. 设$X_1,X_2,\cdots ,X_n$为来自总体$N(\mu ,1)$的一组样本，$\mu$未知，则下列选项中不是统计量的是（ ）
   $(A)$ ${\sum }_{i=1}^n{X}_i$；
   $(B)$ ${\sum }_{i=1}^n{X}_i^2$；
   $(C)$ $\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2$；
   $(D)$ $\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2$。

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总计20分）

6. 设$A,B$独立，且$P(A)=0.4$，$P(A\cup B)=0.8$，则$P(B)=$。

7. 设随机变量$X$服从正态分布$N(2023,100)$，则满足$P\{X>C\}=P\{X\le C\}$的常数$C=$。

8. 设随机变量$X\sim U(0,\theta )$，且$D(X)=12$，则$\theta =$。

9. 设$D(X)=9$，$D(Y)=25$，${\rho }_{XY}=-0.4$，则$D(X+2Y)=$。

10. 设$X_1,X_2,\cdots ,X_n$为来自总体$N(1,{\sigma }^2)$的一组简单随机样本，$\overline{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$为其样本均值，则$\overline{X}$依概率收敛于。

三、解答题（本大题共7小题，每小题8分，总计56分）

11. 播种的小麦种子中混含有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子，其余为一等种子。用一等、二等、三等、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5, 0.15, 0.1, 0.05，现从这批种子中任取一颗，求这颗种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率。

12. 设随机变量$X$的密度函数为
    $f(x)=\{\begin{array}{ll}A\cos x,& |x|\le \frac{\pi }{2}\\ 0,& \text{其他}\end{array}$
    求：
    (1) $A$的值；
    (2) 计算概率$P\{0<X<\frac{\pi }{4}\}$的值。

13. 设随机变量$X$的分布律如右表所示：

$X$	0	1	2
$p_k$	$\frac{1}{4}$	$k$	$\frac{1}{2}$

求：
(1) 常数$k$的值；
(2) $X$的分布函数$F(x)$。

14. 设二维随机变量的联合概率密度为
    $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}6(1-y),& 0<x<y<1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$
    (1) 计算$P(X>0.5,Y>0.5)$；
    (2) 计算$P\{X+Y<1\}$。

15. 随机变量$U$服从$(-2,2)$上的均匀分布，定义$X$和$Y$如下：
    $X=\{\begin{array}{ll}0,& U<-1\\ 1,& U\ge -1\end{array},Y=\{\begin{array}{ll}0,& U<1\\ 1,& U\ge 1\end{array}$
    求$X$与$Y$的协方差$Cov(X,Y)$。

16. 设$X$的概率密度函数为
    $f_X(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{9}{x}^2,& 0<x<3\\ 0,& \text{其他}\end{array}$
    令$Y=e^X$，求$Y$的概率密度函数$f_Y(y)$。

17. 设$X_1,X_2,\cdots ,X_n$为来自总体$X$的一组样本，总体$X$的密度函数为
    $f(x)=\{\begin{array}{ll}\theta x^{\theta -1},& 0<x<1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$
    其中未知参数$\theta >0$，求$\theta$的矩估计量和极大似然估计量。

四、证明题（本大题共1小题，每小题4分，总计4分）

18. 设总体的均值为$\mu$，方差为${\sigma }^2$，$X_1,X_2,X_3$为取自总体的样本，利用样本构造均值$\mu$的估计${\hat{\mu }}_1=\frac{1}{4}{X}_1+\frac{1}{2}{X}_2+\frac{1}{4}{X}_3$，${\hat{\mu }}_2=\frac{1}{5}{X}_1+\frac{2}{5}{X}_2+\frac{2}{5}{X}_3$。证明：${\hat{\mu }}_1$、${\hat{\mu }}_2$均为无偏估计且${\hat{\mu }}_2$比${\hat{\mu }}_1$更有效。

2021-2022

一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，总计20分）

1. 设$A,B$为随机事件，则以下选项正确的是（ ）

   $(A)P(\overline{A})+P(A)=1;$
   $(B)P(A-B)=P(A)-P(B);$
   $(C)P(A\cup B)=P(A)+P(B);$
   $(D)P(AB)=P(A)P(B).$

2. 若随机变量$X$与$Y$相互独立，且$P\{X\le 1\}=P\{Y\le 1\}=\frac{2}{5}$，则$P\{\max (X,Y)\le 1\}=$（ ）

   $(A)\frac{2}{5};$
   $(B)\frac{4}{5};$
   $(C)\frac{4}{25};$
   $(D)\frac{6}{25}.$

3. 若随机变量$X$和$Y$满足$Cov(X,Y)=0$，则下列选项正确的是（ ）

   $(A)X$与$Y$独立；
   $(B)X$与$Y$不相关；
   $(C)X$与$Y$不独立；
   $(D)D(XY)=D(X)D(Y).$

4. 设$X\sim N(-3,2)$，$Y\sim N(2,1)$，且$X$与$Y$相互独立，则$Z=X-Y$所服从的分布为（ ）

   $(A)N(-5,1);$
   $(B)N(-1,1);$
   $(C)N(-5,3);$
   $(D)N(-1,3).$

5. 设$X_1,X_2,\cdots ,X_n$为来自总体$U(0,\theta )$的一组样本，$\theta$未知，则下列选项中不是统计量的是（ ）

   $(A){\sum }_{i=1}^n{X}_i;$
   $(B){\sum }_{i=1}^n{X}_i^2;$
   $(C)\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2;$
   $(D)\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\theta {)}^2.$

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总计20分）

6. 设$A,B$互不相容，且$P(A)=0.4$，$P(A\cup B)=0.7$，则$P(B)=$________.

7. 袋子中有4只白球,3只黑球，从中随机地取出3只球，则其中恰有2只白球的概率为________.

8. 设随机变量$X\sim B(n,\frac{1}{2})$，且$P\{X=0\}=\frac{1}{8}$，则$n=$________.

9. 设$D(X)=9,D(Y)=25,Cov(X,Y)=8$，则$D(X+Y)=$________.

10. 设$X_1,X_2,\cdots ,X_n$为来自总体$N(\mu ,{\sigma }^2)$的一组简单随机样本，$\overline{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$为其样本均值，则$D(\overline{X})=$________.

三、解答题（本大题共7小题，每小题8分，总计56分）

11. 一箱产品中，由A，B两厂生产的分别各占70%，30%，两厂的次品率分别为3%，5%。现在从中任取一件产品，求：（1）取到次品的概率；（2）若取到次品，则该产品是B厂生产的概率。

12. 设随机变量$X$的密度函数为$f(x)=A{e}^{-|x|}$，$-\infty <x<+\infty$，求（1）$A$的值；（2）计算概率$P\{-1\le X\le 1\}$的值。

13. 设随机变量$X$的分布律为下表所示：

    $X$	1	2	3
    $p_k$	$\frac{1}{5}$	$k$	$\frac{1}{2}$

    求：（1）常数$k$的值；（2）$X$的分布函数$F(x)$。

14. 设二维随机变量的联合概率密度为 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}2e^{-2x-y},& x>0,y>0\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$ （1）计算$(X,Y)$落在区域$D:\{0\le x\le 1,0\le y\le 1\}$内的概率； （2）计算$P\{Y\le X\}$。

15. 设$X$与$Y$相互独立，各自分布律如下表所示：

$X$	1	3
$p_k$	0.5	0.5

$Y$	2	4
$p_k$	0.4	0.6

求：（1）$D(X)$的值；（2）$E(XY)$的值。

16. 设$X$的概率密度函数为$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{8}x,& 0<x<4\\ 0,& \text{其他}\end{array}$，令$Y=2X+1$，求$Y$的概率密度$f_Y(y)$。

17. 设$X_1,X_2,\cdots ,X_n$为来自总体$X$的一组样本，总体$X$的密度函数为 $f(x)=\{\begin{array}{ll}(\theta +1)x^{\theta },& 0<x<1\\ 0,& \text{其他}\end{array}$ 其中未知参数$\theta >-1$，求$\theta$的矩估计量和极大似然估计量。

四、证明题（本大题共1小题，每小题4分，总计4分）

18. 设总体的均值为$\mu$，方差为${\sigma }^2$，$X_1,X_2,X_3$为取自总体的样本，利用样本构造均值$\mu$的估计${\hat{\mu }}_1=\frac{1}{2}{X}_1+\frac{1}{3}{X}_2+\frac{1}{6}{X}_3$，${\hat{\mu }}_2=\frac{1}{3}{X}_1+\frac{1}{3}{X}_2+\frac{1}{3}{X}_3$。证明：${\hat{\mu }}_1$、${\hat{\mu }}_2$均为无偏估计且${\hat{\mu }}_2$比${\hat{\mu }}_1$更有效。