期末题归档

24-25

一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，总计20分）

1. 若$z^2=(\bar{z}{)}^2$，则必有（ ） A. $z=0$ B. $\text{Re}(z)=0$ C. $\text{Im}(z)=0$ D. $\text{Re}(z)\cdot \text{Im}(z)=0$

2. 函数$w=\frac{1}{z}$将$z$平面上的直线$y=x$变成$w$平面上的曲线（ ） A. $u=-v$ B. $u^4+v^4=2$ C. $u^2+v^2=1$ D. $u=v$

3. 下列积分中，值不为零的是（ ） A. ${\oint }_{|z|=2}\frac{1}{z-3}dz$ B. ${\oint }_{|z|=2}\frac{1}{z^3}dz$ C. ${\oint }_{|z|=1}\frac{1}{z^2-5z+6}dz$ D. ${\oint }_{|z|=1}\frac{\sin z}{z^2}dz$

4. $z=1$是函数$f(z)=\frac{\sin (\pi z)}{(1-z{)}^2}$的（ ） A. 可去奇点 B. 一级极点 C. 二级极点 D. 三级极点

5. 级数${\sum }_{n=1}^{\infty }\left[\frac{(-1{)}^n}{n}+\frac{i}{n}\right]$的敛散性为（ ） A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 以上都不对

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总计20分）

6. 复数$z=i^{50}+i^{49}$，则其辐角主值为。

7. 设$e^z=1-i$，则$\text{Im}(z)=$。

8. 幂级数${\sum }_{n=0}^{\infty }{2}^n{z}^{2n}$的收敛半径$R=$。

9. $z=0$是$z-\sin z$的$k$级零点，则$k=$。

10. $\text{Res}\left[\frac{e^z}{z^3},0\right]=$。

三、计算与解答题（共7小题，每小题8分，总计56分）

11. 函数$f(z)=2z+\bar{z}$在何处可导，何处解析？

12. 计算${\int }_C(z-1)dz$，其中$C$为$|z|=1$的上半部分逆时针方向。

13. 将函数$f(z)=\frac{1}{2+z}$在$z_0=3$处展开成泰勒级数。

14. 将函数$f(z)=\frac{1-\cos z}{z^5}$在$0<|z|<+\infty$内展开成洛朗级数，并判断$f(z)$在$z=0$处的奇点类型，若是极点，指出是几级极点。

15. 计算积分${\oint }_C\frac{z^6}{(z-1{)}^3(z-2{)}^4}dz$（曲线$C:|z|=3$为正向圆周）。

16. 求函数$F(w)=\delta (w-1)$的傅里叶逆变换。

17. 用拉普拉斯变换解微分方程的初值问题：

$$y^{\prime \prime }-y=e^{4t},y(0)=y^{\prime }(0)=0.$$

四、证明题（本大题共1小题，计4分）

证明：$v$是$u$的共轭调和函数时，$uv$也是调和函数。

23-24

一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，总计20分）

1. 函数$w=\frac{2}{z}$将$z$平面上的圆周$x^2+y^2=2$变成$w$平面上的曲线（ ） A. $u=2$ B. $u^2+v^2=2$ C. $u^2+v^2=\frac{1}{2}$ D. $u=\frac{1}{2}$

2. 积分${\oint }_{|z|=2}\frac{1}{(z-1)(z-3)}dz$的值为（圆周取正向）（ ） A. $0$ B. $-\pi i$ C. $\pi i$ D. 以上都不对

3. $z=0$是函数$f(z)=\frac{1-\cos z}{z^3}$的（ ） A. 可去奇点 B. 一级极点 C. 二级极点 D. 三级极点

4. 下列命题中，正确的是（ ） A. 设$x$, $y$为实数，则$|\cos (x+iy)|\le 1$ B. 若$z_0$是函数$f(z)$的奇点，则$f(z)$在点$z_0$不可导 C. 若$u$, $v$在区域$D$内满足柯西-黎曼方程，则$f(z)=u+iv$在$D$内解析 D. 若$f(z)$在区域$D$内解析，则$\overline{f(z)}$在$D$内也解析

5. 级数${\sum }_{n=0}^{\infty }\left[\frac{(-1{)}^n}{n}+\frac{i}{n^2}\right]$的敛散性为（ ） A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 以上都不对

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总计20分）

6. 复数$z=1+\sqrt{3}i$的辐角主值为__________。

7. $(-1{)}^i=$__________。

8. 幂级数${\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n{z}^n$在$z=2$处条件收敛，则其收敛半径$R=$__________。

9. 设函数$f(z)=u+iv$解析，$4du=kx{y}^2-x^3$，则$k=$__________。

10. $\text{Res}\left[\frac{1}{z^2(z-1)},0\right]=$__________。

三、计算与解答题（共7小题，每小题8分，总计56分）

11. 函数$f(z)=x^2+i{y}^2$在何处可导，何处解析？

12. 计算${\int }_C{e}^{z}dz$，其中$C$为从原点到$1+i$的直线段。

13. 将函数$f(z)=\frac{1}{5-z}$在$z_0=3$处展开成泰勒级数。

14. 将函数$f(z)=z^2\sin \frac{1}{z}$在$0<|z|<+\infty$内展开成Laurent级数，并判断$f(z)$在$z=0$处的奇点类型，若是极点，指出几级。

15. 计算积分${\oint }_C\frac{1}{(z-1{)}^3(z-2{)}^2(z-4)}dz$（曲线$C:|z|=3$为正向圆周）。

16. 求函数$f(t)=\delta (t)+e^{it}$的傅里叶变换。

17. 用拉普拉斯变换解微分方程的初值问题：

$$y^{\prime \prime \prime }+3y^{\prime \prime }+3y^{\prime }+y=6e^{-t},y(0)=y^{\prime }(0)=y^{\prime \prime }(0)=0$$

四、证明题（本大题共1小题，计4分）

18. 设$f(z)$在$|z|\le 1$上解析，且在$|z|=1$上有$|f(z)|\le 1$，证明：$|f^{\prime \prime }(0)|\le 1$。

21-22

1. 函数 $w=\frac{1}{z}$ 将 $z$ 平面上的圆周 $x^2+y^2=2$ 变成 $w$ 平面上的曲线 （ ）

   A. $u^2+v^2+1=0$
   B. $u^2+v^2=2$
   C. $u^2+v^2=\frac{1}{2}$
   D. $u^2+v^2+v=0$

2. 积分 ${\int }_{|z|=5}\frac{e^z}{z^{10}}dz$ 的值为 （ ）

   A. $0$
   B. $\frac{2\pi i}{9!}$
   C. $\frac{2\pi i}{10!}$
   D. 以上都不对

3. $z=0$ 是函数 $f(z)=\frac{\sin z}{z}$ 的 （ ）

   A. 可去奇点
   B. 一级极点
   C. 二级极点
   D. 三级极点

4. 级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n(z-i{)}^n$ 在 $z=-2i$ 处收敛，则该级数在 $z=2+3i$ 点 （ ）

   A. 条件收敛
   B. 发散
   C. 绝对收敛
   D. 不能确定

5. 设函数 $f(z)=\frac{e^z}{z^2+1}$，则 $\text{Re }s[\frac{e^z}{z^2+1},i]=$ （ ）

   A. $-\frac{ie}{2}$
   B. $-\frac{e}{2}$
   C. $\frac{i}{2e}$
   D. $-\frac{i}{2e}$

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分）

6. 复数 $z=5i$ 的辐角主值为 ____________。

7. $\ln (-2)$ 的值为 ____________。

8. 计算积分 ${\oint }_{|z|=2}\frac{1}{z^2}dz=$ ____________，其中曲线 $|z|=2$ 为正向圆周。

9. 设函数 $f(z)=u+iv$ 解析，且 $u=x^2-k{y}^2$，则 $k=$ ____________。

10. 设函数 $f(z)=\frac{z}{(z+1)(z+2)}$ 在 $z_0=2$ 点展开成泰勒级数，则其收敛半径 $R=$ ____________。

三、计算与解答题（共7小题，每小题9分，总计63分）

11. 函数 $f(z)=x^2+iy$ 在何处可导，何处解析？

12. 计算 ${\int }_{C}zdz$，其中 $C$ 为从原点到 $2+i$ 的直线段。

13. 将函数 $f(z)=\frac{1}{2-z}$ 在 $z_0=1$ 处展开成泰勒级数，并指出收敛半径。

14. 将函数 $f(z)=z^2{e}^{\frac{1}{z}}$ 在 $0<|z|<+\infty$ 内展开成 Laurent 级数，并判断 $f(z)$ 在 $z=0$ 处的奇点类型，若是极点，指出几级。

15. 计算积分 ${\oint }_C\frac{1}{(z-2i{)}^8(z-1{)}^5(z-4)}dz$ （曲线 $C:|z|=3$ 为正向圆周）。

16. 求函数 $f(t)=3+2\pi \delta (t)$ 的傅里叶变换。

17. 用拉普拉斯变换解微分方程的初值问题：

    $$y^{\prime \prime }-y=e^{3t},y(0)=y^{\prime }(0)=0.$$

四、证明题（本大题共1小题，计7分）

18. 如果函数 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，$C$ 为 $D$ 内的任一条正向简单闭曲线，$C$ 的内部全含于 $D$，证明：对于 $D$ 内但不在 $C$ 上的任一点 $z_0$，下列等式成立 $${\oint }_C\frac{f^{\prime }(z)}{z-z_0}dz={\oint }_C\frac{f(z)}{(z-z_0{)}^2}dz.$$