复变函数期末冲刺指南 (基于近三年真题分析)

一、试卷结构透视

通过分析近三年的试卷，可以发现试卷结构极度稳定。如果你能熟练掌握以下7类计算题的解法，及格甚至高分都轻而易举。

题号	题型	分值	考察内容 (高频)	稳定性
一	选择题	20分	映射性质( $w = 1/ z$ )、奇点类型、收敛性判断、积分值为零的条件	⭐⭐⭐⭐
二	填空题	15-20分	辐角主值、复数运算、收敛半径、留数计算、调和函数系数	⭐⭐⭐⭐
11	计算题	8-9分	解析性与可导性判定 (C-R方程)	⭐⭐⭐⭐⭐ (必考)
12	计算题	8-9分	非闭合路径积分 (参数方程法或牛顿-莱布尼茨公式)	⭐⭐⭐⭐⭐ (必考)
13	计算题	8-9分	泰勒级数展开	⭐⭐⭐⭐⭐ (必考)
14	计算题	8-9分	洛朗级数展开 + 奇点判别	⭐⭐⭐⭐⭐ (必考)
15	计算题	8-9分	利用留数定理计算闭合回路积分	⭐⭐⭐⭐⭐ (必考)
16	计算题	8-9分	傅里叶变换 (含 $δ$ 函数)	⭐⭐⭐⭐⭐ (必考)
17	计算题	8-9分	拉普拉斯变换解微分方程	⭐⭐⭐⭐⭐ (必考)
四	证明题	4-7分	调和函数性质、柯西不等式/积分公式相关证明	⭐⭐⭐

二、核心考点与复习路线

第一阶段：必拿分的“七大计算题” (占卷面约60%分数)

这部分是复习的重中之重，建议直接背诵解题步骤模板。

1. 解析性与可导性 (对应第11题)

考点：给定 $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ ，判断哪里可导，哪里解析。
核心公式：柯西-黎曼方程 (C-R方程)
$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x}$
解题步骤：
1. 求偏导 $u_{x}, u_{y}, v_{x}, v_{y}$ 。
2. 令其满足 C-R 方程，解出 $x, y$ 的关系。
3. 结论：在满足方程的点可导；如果这些点构成了区域（不仅仅是孤立点或线），则在区域内解析。通常题目结果往往是“仅在某些点可导，处处不解析”或“处处解析

2. 路径积分计算 (对应第12题)

考点：计算 $\int_{C} f (z) d z$ ，注意 $C$ 通常不是闭合的。
解法判断：
- 方法A (原函数法)：如果 $f (z)$ 在包含 $C$ 的单连通区域内解析，直接用 $F (终点) - F (起点)$ 。例如 $\int e^{z} d z$ 。
- 方法B (参数法)：如果 $f (z)$ 含 $\overset{z}{ˉ}, Re (z)$ 等不解析项，必须设 $z (t) = x (t) + i y (t)$ ，代入转化为 $t$ 的定积分。

3. 泰勒级数展开 (对应第13题)

考点：在 $z_{0}$ 处展开 $f (z)$ 。
技巧：
- 换元法：令 $t = z - z_{0}$ ，将 $f (z)$ 变形为关于 $t$ 的函数。
- 常用公式：熟记 $\frac{1}{1 - t} = \sum t^{n}, e^{t}, sin t, cos t$ 的展开式。
- 注意：一定要写出收敛半径或收敛域。

4. 洛朗级数与奇点 (对应第14题)

考点：在指定圆环域（如 $0 < ∣ z ∣ < \infty$ ）展开，并判断 $z = 0$ 是什么奇点。
核心逻辑：
- 利用级数展开公式（如 $sin \frac{1}{z} = \frac{1}{z} - \frac{1}{3 z ^{3}} + \dots$ ）。
- 奇点判别：
  - 无负幂项 $\to$ 可去奇点。
  - 有限个负幂项 (最高为 $1/ z^{m}$ ) $\to$ $m$ 级极点。
  - 无穷多个负幂项 $\to$ 本性奇点。

5. 留数定理求积分 (对应第15题)

考点： $\oint_{C} f (z) d z$ ，其中 $C$ 内部包含若干奇点。
步骤：
1. 找出 $C$ 内部的所有奇点 $z_{k}$ 。
2. 计算每个奇点的留数 $Res [f (z), z_{k}]$ 。
  - 一级极点： $lim_{z \to z_{0}} (z - z_{0}) f (z)$ 。
  - 高阶极点：用导数公式。
3. 结果 $= 2 πi \sum Res$ 。

6. 傅里叶变换 (对应第16题)

考点：求 $F (ω)$ ，题目通常涉及 $δ (t)$ 。
核心记忆：
- $F [δ (t)] = 1$ (或根据定义不同可能有常数差异，需看教材定义)。
- $F [1] = 2 π δ (ω)$ 。
- 位移性质： $δ (t - t_{0}) \leftrightarrow e^{- iω t_{0}}$ 。
- 线性性质。

7. 拉普拉斯变换解ODE (对应第17题)

考点：解 $y^{''} + a y^{'} + b y = f (t)$ ，给定初值。
步骤：
1. 两边取拉氏变换，利用 $L [y^{'}] = s Y - y (0)$ , $L [y^{''}] = s^{2} Y - sy (0) - y^{'} (0)$ 。
2. 代入初值，解出 $Y (s)$ 。
3. 对 $Y (s)$ 进行部分分式分解。
4. 取逆变换 $L^{- 1}$ 得到 $y (t)$ 。

第二阶段：概念巩固 (选择填空)

辐角主值： $Arg (z)$ 范围是 $(- π, π]$ 。注意象限，例如 $z = 1 + 3 i$ 在第一象限，角度 $π /3$ ； $z = - 1 - i$ 在第三象限，角度 $- 3 π /4$ 。
收敛半径 $R$ ：
- 比值法 $lim ∣ c_{n} / c_{n + 1} ∣$ 。
- 距离法：收敛半径 = 展开中心到最近奇点的距离（非常管用！）。
映射 $w = 1/ z$ ：
- 圆过原点 $\to$ 变为直线。
- 圆不过原点 $\to$ 变为圆。
- 直线过原点 $\to$ 变为直线。
调和函数：已知 $u$ 求 $v$ 。利用 $d v = v_{x} d x + v_{y} d y = - u_{y} d x + u_{x} d y$ ，然后积分。

三、考前预测与模拟建议

2025年期末考题预测

根据近三年趋势，今年的试卷极大概率依然是：

选择/填空：会考一个 $i$ 的高次幂或复数开方；会考一个收敛半径计算；会考一个简单的留数计算。
大题11：给一个 $x, y$ 的多项式函数，问哪里可导。
大题12：考一条直线段或圆弧上的积分，函数可能是多项式或指数函数。
大题13：泰勒展开，分母可能是 $(z - a) (z - b)$ 形式，需要拆项。
大题14：洛朗展开，重点复习 $e^{1/ z}$ , $sin (1/ z)$ , $cos (1/ z)$ 这种类型，判断奇点。
大题15：分母有高次幂的积分，例如 $\frac{1}{( z - 1 ) ^{2} ( z - 2 )}$ ，注意只计算圆内的奇点留数。
大题16：含 $δ$ 函数的傅里叶变换。
大题17：二阶常系数微分方程，右边是 $e^{a t}$ 或 $sin / cos$ 。

学习建议

刷真题：把这份文档里的三年真题的大题部分，盖住答案完完整整做一遍。这是最高效的。
背公式：
- C-R方程。
- 高阶极点留数公式： $\frac{1}{( m - 1 )} lim_{z \to z_{0}} \frac{d ^{m - 1}}{d z ^{m - 1}} [(z - z_{0})^{m} f (z)]$ 。
- 拉普拉斯变换的导数性质。
注意书写规范：复变函数很多题目计算量不大，但逻辑要求严密（如“在…区域内解析”），步骤分很重要。