默写公式

1. 波动方程的形式

• 基本形式

$$y(x,t)=A\cos \left[\omega \left(t\mp +\frac{x}{u}\right)+\varphi \right]$$

• 扩展为

$$y(x,t)=A\cos \left[\omega \left(t\mp \frac{x\pm x_0}{u}\right)+\varphi \right]$$

• 一般形式

$$y(x,t)=A\cos (kx\mp \omega t+\varphi )$$

其中:

• $\omega =\frac{2\pi }{T}$ 为角频率
• $k=\frac{2\pi }{\lambda }$ 为波数

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2. 静电场的基本公式

• 电势

$$\begin{array}{rl}\phi & =k\frac{Q}{r}\\ & \\ \text{其中:}k& =\frac{1}{4\pi ϵ}\end{array}$$

• 电势差

$$U={\phi }_1-{\phi }_0$$

如果知道电场:

$$U={\int }_a^{b}Edl$$

如果知道电场力做功

$$U=\frac{W}{q}$$

tips:我们可以依据这些写出电场力做功的表现形式:

$$W={\int }_A^{B}qE\mathbf{d}l$$

• 电场强度$E$

$$E=\frac{F}{q_0}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{Q}{r^2}$$

或者更常见的

$$E=\frac{Q}{4\pi r^2{ϵ}_0}$$

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3. 高斯定理 这里我们只讨论几种特殊的对称高斯面

• 球面 选取半径为 $r$ 的球面作为高斯面有

$${\oint }_{S}E\mathbf{d}S=\frac{Q}{{ϵ}_0}$$

环路积分可以化简为:

$$4\pi r^{2}E=\frac{Q}{{ϵ}_0}$$

• 圆柱面 选取底面半径为 $r$ 的圆柱面作为高斯面有

$${\oint }_{S}E\mathbf{d}S=E(2\pi rL)$$

其中 $L$ 为长度,通常会与 $q=\lambda L$ 抵消($\lambda$为单位长度电荷) 即:

$${\oint }_{S}E\mathbf{d}S=2\pi rLE=\frac{\lambda L}{{ϵ}_0}$$

• 平面对称电荷分布 例如无限大均匀带电平面、均匀带电无限厚平板。此时选择圆柱形或长方体高斯面（高斯箱），使其穿过平面。

$${\oint }_{S}E\mathbf{d}S=E(2A)$$

$A$ 为高斯箱底面面积

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证明一个物体在做简谐运动:

• 回复力与位移成正比且相反
• 加速度与位移成正比且相反

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旋转矢量法

• $\omega \Delta t=\theta$
• 默认$\omega$逆时针旋转
• 沿着转动方向看x变换是正向还是负向
• 旋转矢量要看单个质元的情况

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电容器并联:

$$C=C_1+C_2$$

电容器串联:

$$\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}$$

电容器电容量计算:

$$C=\frac{Q}{U}$$

• 在一个封闭系统中,电荷量保持不变,则可以有

$$U_{PQ}=\frac{C_{整体}}{C_{PQ}}Q$$

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圆柱形电容器内部的电场强度 E 随着半径 r 的变化而变化，其表达式为：

$$E(r)=\frac{Q}{2\pi ϵ{ϵ}_0{R}_1{R}_2}\cdot \frac{R_1{R}_2}{r}=\frac{V}{r\ln \frac{R_2}{R_1}}$$

• $Q$是电容器上储存的电荷量
• ${ϵ}_0$是真空介电常数 ($8.85\times 10^{-12}F/m$)
• $ϵ$是电介质的相对介电常数
• $V$是电容器两端的电压
• $R_1$是内导体半径
• $R_2$是外导体半径
• 当 $r=R_1$时候有$V=V_{max}$

对于平行板电容器

$$E=\frac{V}{d}$$

• $V$是两端电压
• $d$是两端距离

球形电容器

$$E(r)=\frac{Q}{4\pi ϵ{ϵ}_0{r}^2}=\frac{V}{r^2}\cdot \frac{R_1{R}_2}{R_2-R_1}$$

• 当 $r=R_1$时候有$V=V_{max}$

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