1.随机事件和样本空间 and 频率与概率 --from imicola

我们研究随机事件的方式是 随机试验 ,随机试验应该满足以下三个条件

我们约定用 $E$ 表示随机试验,将随机试验所有可能的结果构成构成的集合称为样本空间 $U$ ,例如抛一次硬币的试验 $E_{1}$ 的样本空间 $U = {H, T}$ 记为正反

一些概念解释:

事件的关系:

包含 : $A \subset B$ 即事件 $A$ 发生必然导致事件 $B$ 发生
和事件 : $A \cup B = {x ∣ x \in A or x \in B}$ 即 $A$ 与 $B$ 至少有一个发生,也可以记为 $A + B$
交事件 : $A \cap B = {x ∣ x \in A and x \in B}$ 即 $A$ 与 $B$ 同时发生,也记为 $A B$
- 当 $A B = \emptyset$ 时候,我们称 $A$ 与 $B$ 为互不相容(互斥)事件
- 当 $A B = \emptyset and A + B = U$ 我们称为 $A, B$ 互为对立事件,记 $B = \overline{A}$
差事件 : $A - B = {x ∣ x \in A but x \in / B}$ 有公式 $A - A B = A \overline{B}$

事件的运算:

交事件与并事件均满足交换律和结合律
交事件与并事件满足结合率
对偶率: $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ , $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$

对一个随机试验 $E$ ,对事件 $A$ ,在进行 $n$ 次试验中事件 $A$ 出现了 $n_{A}$ 次,则我们称:

f_{n} (A) = \frac{n _{A}}{n}

为 $A$ 的频率

性质:

$0 \leq f_{n} (A) \leq 1$
$f_{n} (U) = 1$
若 $A_{1}, A_{2} \dots A_{n}$ 两两互不相容,则有: $f_{n} (A_{1} + A_{2} + \dots A_{n}) = \frac{n _{a_{1}} + n _{a_{2}} \dots + n _{a_{n}}}{n} = f_{n} (A_{1}) + f_{n} (A_{2}) + \dots f_{n} (A_{n})$

定义:对一个 $E, U, A$ ,约定 $P (A) \in R$ 满足:

$P (A) \geq 0$ 非负
$P (U) = 1$ 规范
若 $A_{1}, A_{2} \dots A_{n}$ 两两互不相容,有 $P (A_{1}) + P (A_{2}) + \dots + P (A_{n}) = P (A_{1} + A_{2} + \dots A_{n})$

性质:

$P (\emptyset) = 0$
若 $A_{1}, A_{2} \dots A_{n}$ 两两互不相容,有 $P (A_{1}) + P (A_{2}) + \dots + P (A_{n}) = P (A_{1} + A_{2} + \dots A_{n})$
若 $A \subset B$ 则 $P (B - A) = P (B) - P (A)$
- poof : $\begin{align*}B &= A \cup (B - A) \\ P(B) &= P(A+(B-A)) \\ &= P(A) + P(B-A)\end{align*}$
$\forall A, B P (B - A) = P (B - A B) = P (B) - P (A B)$
$A \subset U \Rightarrow P (A) \leq P (U) = 1$
$\forall A P (\overline{A}) = 1 - P (A)$
$P (A + B) = P (A) + P (B) - P (A B)$ 容斥原理

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