高数历年试卷

哈尔滨理工大学 2023-2024 学年第二学期高等数学期末考试试题 A卷

一、选择题（1-5小题，每小题4分，共20分）

1. 曲线$x=t,y=2t,z=t^2$在点$(1,2,1)$处的切线方程为（ ）
   (A)$\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-1}{2}$
   (B)$\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-1}{3}$
   (C)$\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-1}{1}$
   (D)$\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z}{1}$

2. 设区域$\Omega$为$0\le z\le \sqrt{1-x^2-y^2}$，则${\iiint }_{\Omega }[y(x^2+z^2)+6]dxdydz=$（）
   (A)$2\pi$
   (B)$4\pi$
   (C)$6\pi$
   (D)$12\pi$

3. 级数${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{5^n}{n^2}{x}^n$的收敛域为（ ）
   (A)$(-\frac{1}{5},\frac{1}{5})$
   (B)$(-\frac{1}{5},\frac{1}{5}]$
   (C)$[-\frac{1}{5},\frac{1}{5}]$
   (D)$[-\frac{1}{5},\frac{1}{5})$

4. 设$\Omega$为平面$x+y+z=1$与三个坐标面围成的闭区域，则${\iiint }_{\Omega }ydxdydz=$（ ）
   (A)$\frac{1}{24}$
   (B)$2$
   (C)$24$
   (D)$\frac{1}{2}$

5. 可降阶微分方程$y^{\prime \prime \prime }=e^x$的通解为（ ）
   (A)$y=e^x+C_{1}x+C_2$
   (B)$y=e^x+C_1{x}^2+C_2$
   (C)$y=C_1{e}^x+C_1{x}^2+C_3$
   (D)$y=e^x+C_1{x}^2+C_{2}x+C_3$

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二、填空题（6-10小题，每小题4分，共20分）

6. 过点$M(1,-3,2)$且垂直于直线$\frac{x+2}{1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z-2}{3}$的平面方程为

7. 若曲线积分${\int }_L(\arctan x+2xy)dx+(k{x}^2+\sin y)dy$在单连通区域$G$内与路径无关，则$k=$

8. 函数$f(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(e^{x^2}-1)$在$x=0$处展开成幂级数为

9. 曲线积分${\oint }_L(|x|+|y|)ds$，其中$L:|x|+|y|=1$，结果为

10. 已知$f(x)$是以$2\pi$为周期的周期函数，且

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x+\pi ,& -\pi \le x<0\\ \pi -x,& 0\le x<\pi \end{array}$$

设其傅里叶级数的和函数为$S(x)$，则$S\left(\frac{9\pi}{2}\right) + S(0) =$

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三、计算解答题（11-16小题，每小题8分，共48分）

11. 设向量$\vec{a}=\{1,2,1\}$,$\vec{b}=\{k,1,3\}$，且$\vec{a}\cdot \vec{b}=5$，求$k$和$\vec{a}\times \vec{b}$。

12. 设$z=u^2+v^2$,$u=x+y$,$v=2x-4y$，求$\frac{\partial z}{\partial x}$,$\frac{\partial z}{\partial y}$,$dz$。

13. 计算二重积分${\iint }_{D}xydxdy$，其中$D$由直线$y=2$,$x=2$,$y=2x$围成的有界闭区域。

14. 设$L$为$y=\sin x$上从点$O(0,0)$到点$M(\pi ,0)$的一段弧，计算曲线积分：

$${\int }_L(x+3y)dx+(y^2-x)dy$$

15. 求一阶线性微分方程$\frac{dy}{dx}-y=3e^x$，初始条件$y{|}_{x=0}=1$的解。

16. 求二阶常系数微分方程$y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=6$的通解。

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四、综合题（17小题，8分）

17. 某工厂要用钢板制作一个容积为$a^3$立方米的无盖长方体容器，若不计钢板厚度，当长、宽和高各取何尺寸时，才能使制作材料最省？

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五、证明题（18小题，4分）

18. 证明：级数${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{n+2024}{n(n+1)}\cos \left(\frac{n\pi }{3}\right)$绝对收敛。

哈尔滨理工大学 2023-2024 学年第二学期高等数学期末考试试题 B卷

一、选择题（1-5小题，每小题4分，共20分）

1. 向量$\vec{a}=(2,1,1)$，$\vec{b}=(1,0,1)$，则${\text{Prj}}_{\vec{b}}\vec{a}=$（ ）
   (A)$2$
   (B)$2\sqrt{2}$
   (C)$\frac{2}{3}$
   (D)$3$

2. 设闭区域$\Omega$由$0\le z\le \sqrt{1-x^2-y^2}$确定，则${\iiint }_{\Omega }2dxdydz=$（ ）
   (A)$2\pi$
   (B)$\frac{4\pi }{3}$
   (C)$6\pi$
   (D)$12\pi$

3. 级数${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{3^n\cdot 3^n}{x}^n$的收敛半径为（ ）
   (A)$\frac{1}{3}$
   (B)$3$
   (C)$6$
   (D)$\frac{1}{6}$

4. 设$\Omega$为平面$x+y+z=1$与三个坐标面围成的有界闭区域，则${\iiint }_{\Omega }xdxdydz=$（ ）
   (A)$\frac{1}{24}$
   (B)$2$
   (C)$24$
   (D)$\frac{1}{2}$

5. 可降阶微分方程$y^{\prime \prime \prime }=x$的通解为（ ）
   (A)$y=\frac{1}{24}{x}^4+C_1{x}^2+C_{2}x+C_3$
   (B)$y=\frac{1}{6}{x}^4+C_1{x}^2+C_{2}x+C_3$
   (C)$y=C_1{x}^2+C_{2}x+C_3$
   (D)$y=C_1{x}^3+C_2{x}^2+C_{3}x+C_4$

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二、填空题（6-10小题，每小题4分，共20分）

6. 过点$M(1,-3,2)$和$N(1,1,1)$的直线方程为

7. 若正项级数${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}$收敛，则常数$p$的取值范围为

8. 曲线积分${\oint }_L(x^2+y^2)ds$，其中$L$为圆周$x^2+y^2=1$，结果为

9. 设$f(x,y,z)$在空间闭区域$\Omega =\{x^2+y^2+z^2\le r^2\}$上连续，且$f(0,0,0)=3$，则

$$\underset{r\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{\frac{4}{3}\pi r^3}{\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dxdydz=?$$

10. 设$f(x,y)=y^2+x^{2}y$，则$\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{x=1,y=1}=$

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三、计算解答题（11-16小题，每小题8分，共48分）

11. 设$\vec{a}=(1,2,1)$，$\vec{b}=(1,1,1)$，求$(\vec{a}+2\vec{b})\cdot \vec{a}$和$\vec{a}\times \vec{b}$。

12. 设$u=x+y$，$v=x+yv$，$z=u^2+v^2$，求$\frac{\partial z}{\partial x}$，$\frac{\partial z}{\partial y}$，$dz$。

13. 计算二重积分${\iint }_{D}xydxdy$，其中$D$由两坐标轴及直线$x+y=1$围成的闭区域。

14. 设$L$为正向圆周$x^2+y^2=1$，利用格林公式计算

$${\oint }_L(2xy-4y)dx+x^{2}dy$$

15. 求一阶线性微分方程$y^{\prime }-\frac{y}{x}=x{e}^x$的通解。

16. 求二阶常系数微分方程$y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=12$的通解。

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四、综合题（17小题，8分）

17. 某工厂生产两种商品的产量分别为$x$、$y$，成本函数为$f(x,y)=12x^2-8xy+y^2$，在约束条件$x+2y-4=0$下求成本的最小值。

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五、证明题（18小题，4分）

18. 证明：级数${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}\tan \left(\frac{1}{n}\right)$收敛。

哈尔滨理工大学 2022-2023 学年第二学期高等数学期末考试试题 A卷

一、选择题（1-5小题，每小题4分，共20分）

1. 方程$y^{\prime }=e^{y-x^2}$，初始条件$y(0)=0$的解为（ ）
   (A)$e^y=\frac{x^2}{2}+1$
   (B)$e^y=\frac{x^2}{2}+C{e}^x$
   (C)$e^y-e^x=2$
   (D)$e^y=\frac{x^2}{2}+C$

2. 设区域$D:x^2+y^2\le 1$，则积分${\iint }_D(xy+3{)}^{2}d\sigma =$（ ）
   (A)$2\pi$
   (B)$\pi$
   (C)$2$
   (D)$0$

3. 已知直线$L$过原点，且在平面（过三点$P_0(0,0,0)$、$P_1(2,2,0)$、$P_2(0,1,-2)$）上，与直线$L_1:\frac{x+1}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{1}$垂直，则直线$L$的方程为（ ）
   (A)$\frac{x-2}{2}=\frac{y+3}{-4}=\frac{z-1}{1}$
   (B)$\frac{x}{0}=\frac{y}{1}=\frac{z}{-2}$
   (C)$\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$
   (D)$\frac{x+1}{-3}=\frac{y}{1}=\frac{z}{2}$

4. 曲线$x=t^2,y=-t^2,z=t^3+1$在点$(1,-1,2)$处的切向量为（ ）
   (A)$\{1,-2,6\}$
   (B)$\{-1,2,6\}$
   (C)$\{2,-1,6\}$
   (D)$\{1,-2,6\}$

5. 下列曲线积分中，与路径无关的是（ ）
   (A)${\int }_{L}3x^2{y}^{3}dx+3x^3{y}^{2}dy$
   (B)${\int }_{L}xdy-ydx$
   (C)${\int }_L{x}^2{y}^{3}dx+y^{2}dy$
   (D)${\int }_{L}3x^{2}ydx+x^{3}dy$

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二、填空题（6-10小题，每小题4分，共20分）

6. 二阶常系数微分方程$y^{\prime \prime }-y^{\prime }-6y=0$的通解为

7. 函数$z=x^2-3xy+3y$在点$(1,0)$处沿方向$\vec{l}=\{1,1\}$的方向导数为

8. 已知$f(x)$是以$2\pi$为周期的函数，且

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x+1,& -1\le x<0\\ 1-x,& 0\le x<1\end{array}$$

设其傅里叶级数的和函数为$s(x)$，则$s\left(\frac{9}{2}\right)=$

9. 已知向量$\vec{a},\vec{b}$满足$\Vert \vec{a}\Vert =2,\Vert \vec{b}\Vert =2,\vec{a}\cdot \vec{b}=2$，则$\Vert \vec{a}\times \vec{b}\Vert =$

10. 设$L$为下半圆周$y=-\sqrt{1-x^2}$，则${\int }_L(x^2+y^2)ds=$

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三、计算解答题（11-16小题，每小题8分，共48分）

11. 计算二重积分${\iint }_D(x+y{)}^{2}dxdy$，其中$D$是由两坐标轴及直线$x+y=2$围成的闭区域。

12. 设$L$为正向圆周$x^2+y^2=a^2$，计算曲线积分：

$${\oint }_L\frac{(x+y)dx-(x-y)dy}{x^2+y^2}$$

13. 求一阶线性微分方程$y^{\prime }-2xy=4x{e}^{x^2}$的通解。

14. 求过点$A(1,2,1)$且垂直于平面${\pi }_1:2x-y+3z+1=0$和平面${\pi }_2:x-2y-2z+4=0$的平面方程。

15. 求级数${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(x-1{)}^n}{n\cdot 2^n}$的收敛域。

16. 计算三重积分${\iiint }_{\Omega }{z}^{2}dxdydz$，其中$\Omega$为单位球体$x^2+y^2+z^2\le 1$。

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四、综合题（17小题，8分）

17. 设长方体的长、宽、高分别为$x,y,z$，求在约束条件$x+y+z=12$下，使得体积$V=xyz$最大。

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五、证明题（18小题，4分）

18. 证明：级数${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{\sin \left(\frac{n\pi }{3}\right)}{n^3}$绝对收敛。

哈尔滨理工大学 2022-2023 学年第二学期高等数学期末考试试题 B卷

一、选择题（1-5小题，每小题4分，共20分）

1. 方程$y^{\prime }=e^{y-x}$，初始条件$y(0)=0$的解为（ ）
   (A)$e^y=x+1$
   (B)$e^y=\frac{x^2}{2}+C$
   (C)$e^y-e^x=0$
   (D)$e^y=\frac{x^2}{2}+C{e}^x$

2. 设区域$D:x^2+y^2\le 1$，则积分${\iint }_D(\arcsin (xy){)}^{2}d\sigma =$（ ）
   (A)$2\pi$
   (B)$\pi$
   (C)$2$
   (D)$0$

3. 若${\lim }_{n\to \infty }{u}_n=0$，则级数${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$的敛散性为（ ）
   (A) 绝对收敛
   (B) 发散
   (C) 条件收敛
   (D) 敛散性无法判定

4. 曲线$x=t,y=-t^2,z=t+1$在点$(1,-1,2)$处的切向量为（ ）
   (A)$\{1,1,4\}$
   (B)$\{1,6\}$
   (C)$\{1,-4,1\}$
   (D)$\{1,-1,4\}$

5. 下列曲线积分中，与路径无关的是（ ）
   (A)${\int }_{L}3x^2{y}^{3}dx+3x^3{y}^{2}dy$
   (B)${\int }_{L}xdy-ydx$
   (C)${\int }_L{x}^2{y}^{2}dx+y^{3}dy$
   (D)${\int }_L\frac{2x}{y^3}dx+\frac{3x^2}{y^4}dy$

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二、填空题（6-10小题，每小题4分，共20分）

6. 二阶常系数微分方程$y^{\prime \prime }+3y^{\prime }-4y=0$的通解为

7. 函数$u=x^{2}yz$在点$(1,1,1)$处沿方向$\vec{l}=\{2,-3,1\}$的方向导数为

8. 已知函数$f(x)$以$2\pi$为周期，且

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x,& -\pi \le x<0\\ 0,& 0\le x<\pi \end{array}$$

则其傅里叶级数的系数$a_0=$

9. 向量$\vec{a}=(1,-1,2)$，$\vec{b}=(-1,4,2)$，则$\vec{a}$在$\vec{b}$上的投影为

10. 设$L$为圆周$x^2+y^2=1$上从点$(-1,0)$到$(1,0)$的上半弧段，则${\int }_{L}2ds=$

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三、计算解答题（11-16小题，每小题8分，共48分）

11. 计算二重积分${\iint }_{D}x{y}^{2}dxdy$，其中$D$是由直线$x+2y=2$与坐标轴围成的闭区域。

12. 设$L$为正向圆周$x^2+y^2=a^2$，计算曲线积分：

$${\int }_L\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}$$

13. 求一阶线性微分方程$y^{\prime }+3y=e^{2x}$的通解。

14. 求过点$A(1,1,3)$且垂直于平面${\pi }_1:2x-y+3z+1=0$和平面${\pi }_2:x-2y-z+4=0$的平面方程。

15. 求级数${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(x-2{)}^{2n}}{n\cdot 2^{2n}}$的收敛域。

16. 计算三重积分${\iiint }_{\Omega }zdxdydz$，其中$\Omega$由抛物面$z=x^2+y^2$与平面$z=1$围成。

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四、综合题（17小题，8分）

17. 利用拉格朗日乘数法将正数 12 分成三个正数，使得$u=3x^{2}yz$取得最大值。

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五、证明题（18小题，4分）

18. 证明：级数${\sum }_{n=1}^{\infty }\sin \left(\frac{1}{n^2}\right)$收敛。