曲线积分

• 第一类曲线积分(对弧长的积分)
  • 一般形式${\int }_{L}f(x,y)ds$
  • 第一步：参数化曲线L
    • 在直角坐标系下
      • 对平面曲线$f(x,y)$通常可以表示为$x(t),y(t)$，$t\in [t_1,t_2]$
    • 在极坐标系下
      • 我们可以先使用极坐标转换将$L$转换为极坐标下的方程$R(\rho ,\theta )$，然后表示为$\rho =\rho (\theta )$的形式
    • 参数化主要是将x,y都用t来表示，比如$y=x^2+e^x$ 就可以令$x=t$,则$y(t)=t^2+e^t,x(t)=t$
  • 微分元素$ds$
    • 在直角坐标系下$ds=\sqrt{(x^{\prime }(t){)}^2+(y^{\prime }(t){)}^2}dt$
    • 在极坐标系下$ds=\sqrt{{\rho }^2(\theta )+({\rho }^{\prime }(\theta ){)}^2}$
  • 被积函数变化
    • 将$f(x,y)\to f(x(t),y(t))$
    • 极坐标系 $f(x,y)\to f(\rho (\theta )\cos \theta ,\rho (\theta )\sin \theta )$
  • 总公式
    • 直角坐标系下${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_{t_1}^{t_2}f(x(t),y(t))\sqrt{(x^{\prime }(t){)}^2+(y^{\prime }(t){)}^2}dt$
    • 极坐标系下${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}f(\rho (\theta )\cos \theta ,\rho (\theta )\sin \theta )\sqrt{{\rho }^2(\theta )+({\rho }^{\prime }(\theta ){)}^2}d\theta$
• 第二类曲线积分(对坐标的积分)
  • 一般形式 ${\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy$
    • 参数化
      • 对平面曲线$f(x,y)$通常可以表示为$x(t),y(t)$，$t\in [t_1,t_2]$
    • 微元$dx,dy$
      • $dx=x^{\prime }(t)dt,dy=y^{\prime }(t)dt$
  • 总公式
    • ${\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy={\int }_{t_1}^{t_2}\left[P(x(t),y(t))x^{\prime }(t)+Q(x(t),y(t))y^{\prime }(t)\right]dt$
• 格林公式
  • 如果曲线正向(逆时针)则可以使用格林公式
  • ${\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy={\iint }_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$
  • 如果不是闭合曲线，我们可以“造”一个曲线使其闭合
    • 例：正向曲线$L=\sin x,x\in [0,\pi ]$
    • 我们可以添加一条与$L$曲线方向相同的曲线$y=0,x\in [0,\pi ]$
    • 此时有${\int }_{L_0}P(x,y)dx+Q(x,y)dy={\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy+{\int }_{l}P(x,0)dx$
    • 而第一个式子我们可以就用格林公式了
  • 格林公式有”洞”的情况
    • 我们对外部的线积分$I_0$使用正常的格林公式积分
    • 对内部的线积分$I_1$我们必须保证其与外线方向相反的方向来保证使用格林公式的方向性
    • 此时我们计算的积分$I=I_0+I_1$但由于$I_1$是顺时针的，所以用格林公式时候会改变符号
    • 即$I=I_1-I_0$
• 路径无关条件
  • 若一个曲线积分${\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy$与路径无关则有
  • $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$