无穷级数

• 无穷级数判别
  • 正项级数 $\sum a_n,\sum b_n$
    • 比值判别法
    • 设$L={\lim }_{x\to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}$
      • 若$0<L<1$则级数收敛
      • 若$L>1$则发散
      • 若$L=1$则失效
    • 比较判断法
      • 设$L={\lim }_{x\to \infty }\frac{a_n}{b_n}$
        • 如果$L$为有限正数则$\sum a_n$与$\sum b_n$敛散性质相同
        • 如果$L\to \infty$ 且$\sum b_n$发散则$\sum a_n$发散
        • 如果$L=0$且$\sum b_n$收敛，则$\sum a_n$收敛
  • 交错级数
    • 一般形式$\sum (-1{)}^n{a}_n$
    • 莱布尼茨判别法
      • ${\lim }_{x\to \infty }{a}_n=0$
      • $a_{n-1}<a_n$
    • 满足上面两个则级数为收敛的
  • 绝对收敛
    • 当$\sum |a_n|$收敛，则级数绝对收敛
• 幂级数收敛域
  • 用比值判别法
    • $R={\lim }_{n\to \infty }\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$
    • $R$即为收敛半径$(-R,R)$
    • 将两个端点代入看能否取值
  • 根值判别法
    • $R={\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{|a_n|}$
    • $r=\frac{1}{R}$即为收敛半径$(-r,r)$
    • 将两个端点代入看能否取值
• 展开为幂级数
  • 利用五个已知的常用展开式
  • $e^x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$
  • $\frac{1}{1-x}=\sum _{n=1}^{\infty }{x}^n,x\in (-1,1)$
  • $\frac{1}{1+x}=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n{x}^n,x\in (-1,1)$
  • $\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}$
• 傅立叶级数展开
  • 有一个$f(x)$以$2\pi$为周期
  • 和函数$S(x_0)$,其中有间断点$x_k$
    • 当$x_0\ne x_k$ 时 $S(x_0)=f(x)$
    • 当$x_0=x_k$ 时 $S(x_0)=\frac{f(x_{0^{+}})+f(x_{0^{-}})}{2}$
  • 展开式$a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx$