近世代数

群

一个代数系统通常包括一个集合$A$和一个关系$\ast$ 记作$(A,\ast )$

$$群\{\begin{array}{l}半群\{\begin{array}{l}封闭性\\ 结合律\end{array}\\ \\ \downarrow \\ \\ 幺半群:\exists 单位元\\ \\ \downarrow \\ \\ 对每个元素有逆元\end{array}$$

当然还有阿贝尔群(群的基础上添加交换律)和循环群(有生成元)

现在我们主要讲讲如何考虑单位元和逆元，封闭性和结合律的证明都是通过任取元算($\forall x,y,z\in A$),通过*证明满足$x\ast y\in A$和$x\ast (y\ast z)=(x\ast y)\ast z$即可

• 单位元
  • 定义：$\exists e\in A$,使得$\forall a\in A$都有$a\ast e=a$且 $e\ast a=a$
  • 证明思路：
    • 猜测或找到一个候选的单位元$e$
    • 证明这个$e$确实在集合$G$中
    • 对$\forall a\in A$：
      • 证明 $a\ast e=a$
      • 证明 $e\ast a=a$
    • tips: 如果运算是交换的，证明上述一个即可
• 逆元
  • 定义：$\forall a\in A$ 都 $\exists a^{-1}\in A$使得 $a\ast a^{-1}=eand{a}^{-1}\ast a=e$
  • 证明思路
    • 任取$a\in A$ ($\forall a\in A$)
    • 找到或猜测$a$的候选逆元$a^{-1}$，这通常是基于运算的定义和单位元
    • 证明$a^{-1}\in G$
    • 证明$a\ast a^{-1}=e$
    • 证明$a^{-1}\ast a=e$