映射

单射与满射

映射最重要的两个概念：单射，满射 有一个映射 $f$ 满足 $X\to Y$

• 对单射证明：
  • $\forall x_1,x_2\in A$ 如果 $x_1\ne x_2⟹f(x_1)\ne f(x_2)$ 则$f$为单射
• 对满射的证明：
  • $\forall y\in Y\text{if}\exists x\in X⟹f(x)=y$ 则 $f$ 为满射
• 对双射的证明：
  • 如果映射 $f$ 同时满足单射和满射，则 $f$ 为双射

映射的复合

我们可以将集合的复合看为函数的复合

• 求映射的复合
  • 将两个映射看为函数复合

事实上，我们可以完全等价 $(f\circ g)(x)⟺f(g(x))$ 在我们解决一些问题上也会应用这个概念

• 已知 $f:X\to Y,g:Y\to Z$ 且 $g\circ f$ 为满射，证明$g$为满射
  • 思路：
    • $\forall z\in Z$ 有 $\exists x\in X$使得 $(g\circ f)(x)=z$
    • $(g\circ f)(x)⟺g(f(x))$
    • 因为$x\in X$且$f:X\to Y$ 则$f(x)\in y$
    • 令$f(x)=y_0$ 且$g:Y\to Z$,则有$g(y_0)\in Z$
    • 即证

映射的逆

映射存在逆的充要条件是映射是双射

• 如何求逆？
  • 令$f(x)=y$ 则 $f^{-1}(y)$就是将$f(x)=y$中$x，y$互换