布尔逻辑与格

本篇依旧是在代数系统$(A,\ast )$上进行讨论

• 偏序集
  • 也就是判断给定$(A,\ast )$是不是偏序关系
    • 证明自反，反对称，传递
• 格
  • 对任意两个元素$a,b\in A$都存在最小上界($a\vee b$)和最大下界($a\wedge b$)
• 有界格
  • 在格的基础上存在最大元素(记作$1$)和最小元素(记作$0$)
• 有补格
  • 在有界格$(A,\ast ,0,1)$基础上，对$\forall a\in A$ 有 $\exists a^{\prime }\in A\Rightarrow a\wedge a^{\prime }=0anda\vee a^{\prime }=1$
  • 补元不一定是唯一的
• 分配格
  • 满足以下两个等价的分配律中的任意一个
    • $\forall a,b,c\in A⟹a\vee (b\wedge c)=(a\vee b)\wedge (a\vee c)$
    • $\forall a,b,c\in A⟹a\wedge (b\vee c)=(a\wedge b)\vee (a\wedge c)$
• 布尔代数
  • $(B,\wedge ,\vee {,}^{\prime },0,1)$是一个布尔代数，如果它是一个有补分配格