6.连续型随机变量

定义与概率密度

对于随机变量$X$,若存在非负可积函数 $f(x),x\in \mathbb{R}$

对于任意$a,b\in \mathbb{R},(a<b),⟹P(a<X\le b)={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$

称$X$为连续型变量， $f(x)$ 称为$X$的概率密度函数，求在区间$L,R$ 的概率就是求这个区间的积分

性质：

• $f(x)\ge 0$
• ${\int }_{\infty }^{\infty }f(x)=1$

分布函数

定义2：

• 随机变量$X$(离散型，连续型)，$x\in \mathbb{R}$
• 称$F(x)=P\{X\le x\}$为$X$的分布函数

性质：

• $\forall a,b\in \mathbb{R},(a<b)$ 则 $P(a<X\le b)=F(b)-F(a)$
• $F(x)$单调不减
• $0\le F(x)\le 1$
• $\underset{x\to -\infty }{\lim }F(x)=0,\underset{x\to \infty }{\lim }F(x)=1$
• 分布函数是右连续的，即 $\underset{x\to x^{+}}{\lim }F(x)=F(x_0)$

对于离散型：

$$F(x)=\sum _{k=0}^n{p}_k$$

对于连续型：

$$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)\mathrm{d}t$$

其中$f(t)$为密度函数

同时，我们也有$F^{\prime }(x)=f(x)$ 即分布函数求导可以得到密度函数，在连续性中 $P\{X=a\}=0$

均匀分布

均匀分布$X\sim U(a,b)$

有密度函数$f(x)$

$$f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{b-a}a<x<b\\ \\ 0\text{other}\end{array}$$

分布函数$F(x)$

$$F(x)=\{\begin{array}{l}0x\le a\\ \\ \frac{x-a}{b-a}a<x<b\\ \\ 1x\ge b\end{array}$$

指数分布

$X\sim E(\theta )$：
密度表达式

$$f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{\theta }{e}^{\frac{-x}{\theta }}x>0\\ \\ 0x\le 0\end{array}$$

分布函数

$$F(x)=\{\begin{array}{l}1-e^{\frac{-x}{\theta }}x>0\\ \\ 0x\le 0\end{array}$$

会常在无记忆性的 “电子元器件使用” 中出现

正态分布

$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2\sigma }}x\in \mathbb{R}$$

特别的，当$X\sim N(0,1)$时候我们说概率分布服从标准正态分布