5.随机变量

随机变量的概念

• 定义1:有一个随机事件 $E$ 与样本空间 $U=\{e\}$ 若对 $\forall e\in U$ 都有唯一实数$x(e)$与之对应,称 $x(e)$ 为随机变量,简写为$X$
• 我们规定符号随机变量:$X,Y,Z,X_i$
  • 实数规定为: $x,y,z,x_i$
• 随机变量可以被如下划分

$$\text{随机变量}\{\begin{array}{l}\text{离散型}\\ \\ \\ \text{非离散型}\{\begin{array}{l}\text{连续型}\\ \text{其他}\end{array}\end{array}$$

离散型随机变量

• 若随机变量$X$的取值是有限个或者无限可列个,则称$X$为离散型随机变量
• 设$X$的所有可能取值为$X=x_k(k\in {\mathbb{Z}}^{+})$ 且P\{X = x_{k}\} = P_{k} \tag{1}
• 我们称$(1)$式为$X$的分布律

我们可以为分布律列表

$X$	$x_1$	$x_2$	$x_3$
$P$	$p_1$	$p_2$	$p_2$

性质:

• $P_k\ge 0$
• $\sum P_k=1$

三种常见的离散型随机变量分布

1. $X\sim (0,1)$分布

$X$	$0$	$1$
$P$	$1-p$	$p$

2. 伯努利分布(二项分部) $X\sim B(n,p)$

伯努利实验: $E$的结果只有两种情况 $A,\overline{A}$ $n$重伯努利实验: 独立重复的进行 $n$ 次实验,$P(A)=p$

伯努利实验概率分布

P\{X = k\} &= C^{k}_{n}p^{k}(1-p)^{n-k} \end{align*}$$ 3. 泊松分布 $X \sim P(\lambda)$ $P\{X = k\} = \frac{\lambda e^{-\lambda}}{k!}\ (\lambda > 0,k \in \mathbb{Z^+})$ ### 泊松定理 设 $X \sim B(n,p)$,当 $n \to \infty,p \to 0$ 时候,令 $np = \lambda$,则有

P{X = k} \approx \frac{\lambda e^{-\lambda}}{k!}