3.条件概率

3.1条件概率

引例: 在0到9任取一个数

• 已知取得的数 $k>4$ ,求取得奇数的概率

我们可以猜出: $P(ans)=\frac{3}{5}$

给出$A,B$两个事件,$P(B)>0$

• 给出条件概率$P(A|B)$称为条件概率,其中$B$是先发生的概率,$A$是后发生的概率

Important

$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(A)}$

性质:

1. $P(U|A)=1$
2. 设$A_1,A_2\cdots A_n$ 两两互不相容,则

$$P(A_1+A_2+\cdots A_n|B)=P(A_1|B)+P(A_2|B)+\cdots P(A_n|B)$$

3. $P(\varnothing |B)=0$
4. $P(\overline{A}|B)=1-P(A|B)$
5. $P(A_1+A_2|B)=P(A_1|B)+P(A_2|B)-P(A_1{A}_2|B)$

例: 在一个盒子中有8个红球,5个白球,求在第二次取到红球概率

设$A$表示取到红球的概率，$B$表示第二次取到红球的概率，$C$表示第一次取到白球的概率

则有

$$P(B)=P(AB)+P(BC)=P(A)P(B|A)+P(C)P(B|C)=\frac{8}{13}\cdot \frac{7}{12}+\frac{5}{13}\cdot \frac{8}{12}$$

3.2 乘法定理

• 设$P(B)>0$ 有 $P(AB)=P(B)P(A|B)$
• 设$P(A)>0$ 有 $P(AB)=P(A)P(B|A)$
• 设$P(AB)>0$ 有 $P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)$

3.3 全概率公式与贝叶斯公式

定义

对$E$ 与全样本空间$U$ 有 [$B_1\cdots B_n$]事件

1. 若对任意$i,j$有$B_i{B}_j=\varnothing$
2. ${\bigcup }_{i=1}^n{B}_i=U$

我们称满足上面的所有$B$为$U$的 分割

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全概率公式

定义:
对于$E,U$ 有 $B_1\cdots B_n$ 的一个分割 $P(B_i)>0$, $A$为任意事件,有

$$P(A)=P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)+\cdots +P(B_n)P(A|B_n)$$

贝叶斯公式

定义:
对于$E,U$ 有 $B_1\cdots B_n$ 的一个分割 $P(B_i)>0$, $A$为任意事件$P(A)>0$,有

$$P(B_i|A)=\frac{P(A{B}_i)}{P(A)}=\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum _{j=1}^{n}P(B_j)P(A|B_j)}$$